AP Stats Home
Sampling Distributions for Differences in Sample Proportions
When we are interested in comparing two population proportions, say $ p_1 $ and $ p_2 $ , we often take independent random samples from each population. The difference in the sample proportions, $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ , is a statistic that estimates the true difference in population proportions, $ p_1 - p_2 $ . Understanding the sampling distribution of this statistic is crucial for making inferences about the populations.
Mean of the Sampling Distribution
The mean (expected value) of the sampling distribution of the difference in sample proportions, $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ , is equal to the true difference in population proportions:
$$ \mu_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = E(\hat{p_1} - \hat{p_2}) = p_1 - p_2 $$
This property holds true provided that Sampling Distributions for Sample Proportions are themselves unbiased estimators of their respective population proportions.
Standard Deviation of the Sampling Distribution
Since the two samples are independent, the variance of the difference of two independent random variables is the sum of their variances. The standard deviation of the sampling distribution of $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ is given by:
$$ \sigma_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} $$
Conditions for Using this Formula
To use this formula, two conditions must be met:
- 10% Condition: Both samples must be less than 10% of their respective populations. That is, $ n_1 \le 0.10N_1 $ and $ n_2 \le 0.10N_2 $ . This ensures that the independence of observations within each sample is maintained and that the standard deviation formula remains valid.
- Independent Samples: The two samples must be drawn independently from each other.
Shape of the Sampling Distribution
The shape of the sampling distribution of $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ is approximately Normal, provided certain conditions are met. This approximation is based on the The Central Limit Theorem.
Conditions for Normality (Large Counts Condition)
The sampling distribution of $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ will be approximately Normal if the expected number of successes and failures in both samples are at least 10:
- $ n_1p_1 \ge 10 $
- $ n_1(1-p_1) \ge 10 $
- $ n_2p_2 \ge 10 $
- $ n_2(1-p_2) \ge 10 $
These are known as the Large Counts Condition. If these conditions are met, we can use the Normal distribution to calculate probabilities involving $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ .
Summary of the Sampling Distribution
| Characteristic | Formula | Conditions | | :—————- | :———————————————————————- | :————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————Sampling Distributions for Differences in Sample Proportions
In AP Statistics, we often move beyond analyzing a single population to comparing two populations. When dealing with categorical data, this typically involves comparing two population proportions, $ p_1 $ and $ p_2 $ . We use the difference in sample proportions, $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ , to make inferences about the true difference $ p_1 - p_2 $ . Understanding the sampling distribution of this statistic is fundamental for constructing confidence intervals and performing hypothesis tests for the difference of two population proportions.
I. Definition and Notation
Let $ p_1 $ be the true proportion of successes for Population 1 and $ p_2 $ be the true proportion of successes for Population 2. We draw an Random Sampling and a Collection|independent random sample of size $ n_1 $ from Population 1, yielding a sample proportion $ \hat{p_1} $ . We draw an independent random sample of size $ n_2 $ from Population 2, yielding a sample proportion $ \hat{p_2} $ .
Our statistic of interest is the difference in sample proportions: $ (\hat{p_1} - \hat{p_2}) $ .
II. Properties of the Sampling Distribution of $ (\hat{p_1} - \hat{p_2}) $
A. Shape
The sampling distribution of $ (\hat{p_1} - \hat{p_2}) $ is approximately Normal, provided certain conditions are met. This approximation is justified by the The Central Limit Theorem when applied to proportions, specifically when the sample sizes are large enough.
Conditions for Normality (Large Counts Condition)
For the sampling distribution of $ (\hat{p_1} - \hat{p_2}) $ to be approximately Normal, we need to satisfy the Large Counts Condition for both samples:
- $ n_1p_1 \ge 10 $
- $ n_1(1-p_1) \ge 10 $
- $ n_2p_2 \ge 10 $
- $ n_2(1-p_2) \ge 10 $
These conditions ensure that each sample proportion ( $ \hat{p_1} $ and $ \hat{p_2} $ ) is approximately Normally distributed, and thus their difference will also be approximately Normally distributed.
B. Center (Mean)
The mean of the sampling distribution of the difference in sample proportions, $ \mu_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} $ , is equal to the true difference in population proportions. This means that the statistic $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ is an Biased and Unbiased Point Estimates|unbiased estimator of $ p_1 - p_2 $ .
$$ \mu_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = E(\hat{p_1} - \hat{p_2}) = p_1 - p_2 $$
C. Spread (Standard Deviation)
The standard deviation of the sampling distribution of $ \hat{p_1} - \hat{p_2} $ , often referred to as the standard error when unknown parameters are estimated, quantifies the typical variability of the difference in sample proportions from the true difference.
$$ \sigma_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} $$
Conditions for Using this Formula
To use this formula for the standard deviation, two conditions must be met:
- Independent Samples: The two samples (from Population 1 and Population 2) must be chosen independently of each other. This is crucial because the formula for the variance of a difference of random variables ( $ Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) $ ) only holds for independent random variables.
- 10% Condition: Both samples must be less than 10% of their respective population sizes. That is, $ n_1 \le 0.10N_1 $ and $ n_2 \le 0.10N_2 $ . This ensures that the observations within each sample are approximately independent, which is a requirement for the standard deviation formula of a sample proportion, $ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $ , to be valid.
III. Summary Table for Sampling Distribution of $ (\hat{p_1} - \hat{p_2}) $
| Characteristic | Formula / Condition | Requirement |
|---|---|---|
| Shape | Approximately Normal | Large Counts Condition: $ n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2) $ are all $ \ge 10 $ . |
| Mean | $ \mu_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = p_1 - p_2 $ | Independent random samples. |
| Standard Dev. | $ \sigma_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} $ | Independent random samples. 10% Condition: $ n_1 \le 0.10N_1 $ and $ n_2 \le 0.10N_2 $ . |
IV. When $ p_1 $ and $ p_2 $ are Unknown
In real-world scenarios, the true population proportions $ p_1 $ and $ p_2 $ are typically unknown.
- For confidence intervals, we use the sample proportions $ \hat{p_1} $ and $ \hat{p_2} $ to estimate $ p_1 $ and $ p_2 $ in the standard deviation formula. This gives us the standard error: $$ SE_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = \sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}} $$ * For hypothesis tests where we assume $ p_1 = p_2 $ (i.e., the null hypothesis is $ H_0: p_1 - p_2 = 0 $ ), we use a pooled (combined) sample proportion $ \hat{p_c} $ to estimate the common population proportion. $$ \hat{p_c} = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \frac{n_1\hat{p_1} + n_2\hat{p_2}}{n_1 + n_2} $$ The standard deviation (or standard error under the null hypothesis) then becomes: $$ \sigma_{\hat{p_1} - \hat{p_2}} = \sqrt{\hat{p_c}(1-\hat{p_c})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} $$ Using the correct standard error formula is critical for Setting Up a Test for the Difference of Two Population Proportions and Justifying a Claim Based on a Confidence Interval for a Difference of Population Proportions.